Funcion Polinomial-ana karen dominguez vazquez

Función racional

1.Dada la función
f(x)=2x^(3)+7x^(2)-7x-12
a) Halle los ceros de f
b) Determine los valores de x para f(x)>0

Procedimiento

a) Nos dan la función polinómica:

f(x) = 2x³ + 7x² - 7x - 12

Se pueden hallar "igualando a cero" la fórmula de la función, que es lo mismo que "reemplazar por cero" a la "y" o a f(x) de la fórmula:

2x³ + 7x² - 7x - 12 = 0

Entonces se trata de hallar las "x" que verifican esa ecuación. Como es una ecuación de tercer grado, que además tiene términos de grado 2 y grado 1, y un término independiente, no se puede despejar la "x", ni usar la fórmula resolvente de la cuadrática en un principio. Pero se podría factorizar todo el polinomio para ver sus raíces (que además va a servir para el otro paso). Empiezo con el Teorema de gauss:

Divisores de término independiente: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.

1) Reemplazar la x del polinomio por la presunta raíz, y si dá cero es porque sí es raíz. 2) Dividir por (x - supuesta raíz), y el resto de la división tiene que dar cero. Por comodidad, uso el procedimiento 1):


f(x) = 2x³ + 7x² - 7x - 12

f(1) = 2.1³ + 7.1² - 7.1 - 12 = 2 + 7 - 7 - 12 = 2 - 12 = -10 (El 1 no es raíz)

f(-1) = 2.(-1)³ + 7.(-1)² - 7.(-1) - 12 = -2 + 7 + 7 - 12 = 0 (El -1 es raíz)

Encontré una raíz: x = -1. Así que el polinomio es divisible por (x + 1). Hago la división por Ruffini:

| 2 7 -7 -12
|
|
|
-1 | -2 -5 12
_____________________________
2 5 -12 | 0

Cociente: 2x² + 5x - 12

Así que:

f(x) = (x + 1).(2x² + 5x - 12)

Luego, podría factorizar 2x² + 5x - 12 por el Séptimo caso (Trinomio de segundo grado), o también por gauss. Uso el Séptimo caso:

2x² + 5x - 12 = 0

a = 2
b = 5
c = -12

x =




x₁ = (-5 + 11)/4 = 6/4 = 3/2

x₂ = (-5 - 11)/4 = -16/4 = -4

Como en el Séptimo caso se factoriza según esta fórmula:

a.(x - x₁).(x - x₂)

queda:

2.(x - 3/2).(x - (-4))

2.(x - 3/2).(x + 4)

Así que el polinomio totalmente factorizado (más no se puede pues quedaron términos de grado 1), queda así:

(x + 1).2.(x - 3/2).(x + 4) ó mejor:

2.(x + 1).(x - 3/2).(x + 4)


Ahora volvemos a la ecuación que queríamos resolver. Con el polinomio ya totalmente factorizado, la ecuación es así:

2.(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) = 0

Pero ahí tenemos un producto (multiplicación) de varios factores. Y una multiplicación dá cero, cuando alguno de los factores es cero. Así que:

2 = 0 (imposible) ó



(x + 1) = 0 ó sea:

x = -1

ó

(x - 3/2) = 0 ó sea:

x = 3/2

ó

(x + 4) = 0 ó sea:

x = -4

Entonces, las soluciones de la ecuación son:

x = -1
x = 3/2
x = -4


Y entonces son ésos los ceros o raíces de la función. Quiere decir que, cuando reemplace en la fórmula de la función con alguno de esos números, es resultado de las cuentas va a dar cero. Y que si trazo la gráfica de la función, ésta va a cortar al eje "x" en esos valores.

También hay otra forma de pensar esto de las raíces o ceros, sin necesidad de plantear la ecuación con el polinomio factorizado. Porque fijate que lo que hice en el procedimiento fue ir encontrando las raíces para factorizar al polinomio. Pero si ya encontré las raíces ¿para qué ponerlo factorizado y resolver la ecuación?. Bueno, lo factoricé más que nada porque me sirve así para el punto siguiente que es una inecuación. Y también para mostrarte como se resuelve en general una ecuación que es un producto igualado a cero. Pero aclaremos cuándo encontré las raíces:

La primera raíz la encontré por el Teorema de gauss: -1

Luego, con la fórmula resolvente lo que se encuentra justamente son las raíces del polinomio de segundo grado, así que en el resultado de la resolvente puedo ver las otras dos raíces: x₁ = 3/2, x₂ = -4. Y ya está. No hacía falta hacer más nada para hallar los ceros o raíces: eran ésos.


b) Acá tenemos que encontrar los valores de "x" para los cuales f(x) > 0. Me conviene escribir esa inecuación con el polinomio ya factorizado:

2.(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) > 0

Y ahora hay que resolver esa inecuación. Primero paso el 2 al otro miembro, para ya descartar algo. Como el 2 es un número positivo, la desigualdad no va a cambiar (sigue con el signo ">" (mayor)):

 
(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) > 0:2

(x + 1).(x - 3/2).(x + 4) > 0

Ahora podemos usar la "regla de los signos" para resolver esa ecuación. Porque "> 0" (mayor que cero) significa lo mismo que "positivo". Esa ecuación es una multiplicación que dá positivo. Y cuando una multiplicación de 3 factores dá positivo. Tenemos varias posibilidades, según la regla de los signos:

+ . + . + = +
+ . - . - = +
- . + . - = +
- . - . + = +

Me parece que si planteamos esas 4 posibilidades en inecuaciones se va hacer un poco muy largo. Mejor podemos hacerlo con otro procedimiento (que se suele usar también):

Sabemos que (x + 1).(x - 3/2).(x + 4) dá cero en -1, 3/2 y -4 (por el punto anterior). Si recordamos que el polinomio es la fórmula de una función, podemos darnos cuenta de que entonces, en los intervalos que delimitan esos puntos, la función va a dar: o mayor que cero ó menor que cero (positivo o negativo). Así que podemos analizar todos los intervalos que quedan delimitados, probando algún valor que pertenezca, y viendo si dá negativo o positivo:


< ----------|-------------|---------|-------------------- >
-∞ -4 -1 3/2 +∞

En la recta numérica podemos ver los intervalos que quedan delimitados por esos números:

(-∞ ; -4)
(-4 ; -1)
(-1 ; 3/2)
(3/2 ; +∞)